チェックボックスの状態を取得

attrは非推奨とのこと。prop使え

  if($("#chk").prop('checked')){
    alert("チェックしてある");
  }

チェックボックスが入っていれば「true」、入っていなければ「false」が返ってくる

チェックボックスにチェックを入れる/外す

同様にprop使え

$("#btn").click(function() {
  $('#chk').prop('checked',true);
});

true/falseの部分は0/1でも動作可能